cf4月活动大全 穿越火线cf2017年4月活动网址大全

百度 而对于建设、施工、设计、监理、材料供应等单位把关不严、偷工减料造成质量问题的，除按要求整改到位、承担相应责任外，有关违法违规事项记入企业信用档案。

Trigonométri?ne (trigonometríjske) ali kótne fúnkcije so pomembne matemati?ne funkcije. Ime kotne funkcije izhaja iz dejstva, da so rezultati odvisni od kota. Starej?e ime za te funkcije je kotomerne ali goniometri?ne (gr?ko starogr?ko γων?α: lonía – kot) funkcije. Kotne funkcije so pomembne pri prou?evanju trikotnikov in pri modeliranju periodi?nih pojavov. Na njih sloni trigonometrija. Lahko jih dolo?imo kot razmerja dveh stranic pravokotnega trikotnika, ki oklepata kot, ali ?e bolj splo?no kot razmerja koordinat to?k na enotskem trigonometri?nem krogu, oziroma kot neskon?ne vrste.

Grafi trigonometri?nih funkcij sinus, kosinus in tangens

Obstaja ?est osnovnih trigonometri?nih funkcij: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans in kosekans. Sekans in kosekans se v novej?em ?asu opu??ata.

Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku

Sinus (sin) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo.

Kosinus (cos) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu prile?no kateto in hipotenuzo.

Tangens (tg ali tan) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasprotno kateto in kotu prile?no kateto.

Kotangens (ctg ali cot) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu prile?no kateto in kotu nasprotno kateto.

Sekans (sec) je v pravokotnem trikotniku razmerje med hipotenuzo in kotu prile?no kateto. Velja: $\sec x={\frac {1}{\cos x}}$.

Kosekans (csc) je v pravokotnem trikotniku razmerje med hipotenuzo in kotu nasprotno kateto. Velja: $\csc x={\frac {1}{\sin x}}$.

Kotne funkcije v enotskem krogu

Trigonometri?ne funkcije v enotskem krogu

Z enotskim krogom (OA = 1) lahko funkcije opredelimo kot:

• sin α = BC - ordinata to?ke, kjer gibljivi krak kota α seka enotsko kro?nico
• cos α = OB - abscisa to?ke, kjer gibljivi krak kota α seka enotsko kro?nico
• tg α = AD - ordinata to?ke, kjer nosilka gibljivega kraka kota α seka tangento na enotsko kro?nico pri x = 1
• ctg α = EF - abscisa to?ke, kjer nosilka gibljivega kraka kota α seka tangento na enotsko kro?nico pri y = 1

• sec α = OD
• csc α = OF

Ciklometri?ne (kro?ne) funkcije

Vsaki trigonometri?ni funkciji pripada inverzna funkcija. Inverze trigonometri?nih funkcij imenujemo kro?ne ali ciklometri?ne funkcije.

Ker trigonometri?ne funkcije niso bijektivne, so kro?ne funkcije le delno inverzi (inverzi le na dolo?enem obmo?ju). V spodnji tabeli so navedeni ustrezni intervali (glavne vrednosti).

Trigonometri?na funkcija	Kro?na funkcija	Glavne vrednosti
x = sin y	y = arc sin x	-π/2 ≤ y ≤ π/2
x = cos y	y = arc cos x	0 ≤ y ≤ π
x = tg y	y = arc tg x	-π/2 ≤ y ≤ π/2
x = ctg y	y = arc ctg x	0 ≤ y ≤ π
x = sec y	y = arc sec x	0 ≤ y ≤ π
x = csc y	y = arc csc x	-π/2 ≤ y ≤ π/2

Izra?anje funkcij s ?tevilskimi vrstami

Trigonometri?ne funkcije lahko za majhne vrednosti argumenta razvijemo v Taylorjevo vrsto (opomba: argument x mora biti v radianih):

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\pm \ldots$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\ldots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\pm \ldots$

$\operatorname {tg} x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\ldots +{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}+\ldots$

Pri tem B_n ozna?ujejo Bernoullijeva ?tevila.

Funkcije kompleksnega argumenta

Trigonometri?ne funkcije lahko raz?irimo tako, da dovolimo, da je argument funkcije kompleksen. Pri tem si lahko pomagamo z Eulerjevo ena?bo:

$e^{iz}=\cos z+i\sin z\!\,.$

Odtod dobimo

$\sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\!\,,$

$\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\!\,.$

Osnovne zveze med kotnimi funkcijami

$(\sin(x))^{2}+(\cos(x))^{2}=1$

$1+(\operatorname {tg} (x))^{2}={\frac {1}{(\cos(x))^{2}}}$

$1+(\operatorname {ctg} (x))^{2}={\frac {1}{(\sin(x))^{2}}}$

Kotne funkcije komplementarnih kotov

$\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha$

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha$

$\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\operatorname {ctg} \alpha$

$\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\operatorname {tg} \alpha$

Prehod na ostri kot

$\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$

$\sin(\pi +\alpha )=-\sin \alpha$

$\cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha$

$\cos(\pi +\alpha )=-\cos \alpha$

$\operatorname {tg} (\pi -\alpha )=-\operatorname {tg} \alpha$

$\operatorname {ctg} (\pi -\alpha )=-\operatorname {ctg} \alpha$

Kotne funkcije dvojnih kotov

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha =(\cos \alpha )^{2}-(\sin \alpha )^{2}$

$\operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1-(\operatorname {tg} \alpha )^{2}}}$

Kotne funkcije trojnih kotov

$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4(\sin \alpha )^{3}$

$\cos 3\alpha =4(\cos \alpha )^{3}-3\cos \alpha$

Kotne funkcije polovi?nih kotov

$\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}$

$\sin {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}$

$\cos {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}$

Adicijski izreki

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

Glej tudi

• sinusni izrek
• kosinusni izrek
• faktorizacija (preoblikovanje vsote kotnih funkcij v produkt)
• raz?lenjevanje (preoblikovanje produkta kotnih funkcij v vsoto)
• kro?na funkcija
• hiperboli?na funkcija